數學發明

勾股定理	割圓術	會圓術
重差術	盈不足術	方程
賈憲三角	增乘開方法	大衍總數術
天元術	四元術	招差術
垛積術	縱橫圖	尖錐術

勾股定理　

「在直角三角形中，兩腰的平方和等於斜邊的平方」，也就是

這個直角三角形稱為「勾股形」。

在公元前十一世紀末期的周朝初年，商高就已經發現了勾股定理。這件事記載在一本《周髀算經》的古書中。在《周髀算經》的開頭的地，方便提出了這個定理的一個特例：「勾廣三，股修四，徑隅五」。這就是說勾三，股四，則弦是五。這就是歷史上關於「勾股定理」的最早陳述。（此定理的發現比公元前六世紀的畢達哥拉斯發現畢氏定理 Pythagoras' Theorem早五、六百年），但《周髀算經》討論勾股問題時，未曾給出嚴格證明。從《周髀算經》後部可以看到一般「勾股定理」的應用。 　

《周髀算經》討論勾股問題時，雖然也論及勾股定理的一般形式，但未曾給出嚴格證明。

　　　　 趙爽的證明 　　　　　　　 劉徽的證明 　　　　　　　 返回目錄

趙爽的證明

公元三世紀時的三國時代數學家趙爽，對《周髀算經》進行了詳盡的注釋，重新論述了勾股定理，專門寫了一篇「勾股圓方圖注」，並附了一幅「弦圖」，對勾股定理作出了嚴格而簡捷的證明。

他對「勾股圓方圖注」下注稱：

「勾股各自乘，並之為弦實。開方除之，即弦。」

以弦為邊長作一個正方形，它的面積稱為「弦實」，在這個正方形內的四個直角三角形，其面積稱為「朱實」，中間所圍出的小正方形，其面積稱「中黃實」，這就是弦圖的結構。

「按弦圖又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四。以勾股之差自相乘為中黃實，加差實一亦成弦實。」

顯然這個小正方形邊長等於勾、股之差。因為「弦實」等於四個「朱實」與中間「黃實」的和，於是

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劉徽的證明

公元三世紀時的三國時代數學家劉徽在《九章算術》第九章「勾股」的勾股術「勾股各自乘、並而開方除之，即弦。」作注：

「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不移動也。合成弦方之冪，開方除之，即弦也。」　

　　「出入相補」法說明勾股定理
　

如右圖所示，右上圖內上方的勾股形，以勾為邊的正方形為朱方，以股為邊的正方形為青方。按圖中的標示進行出入相補後拼成弦方，如右下圖所示.，依面積關係顯然有以下結果

　弦方 = 朱方 + 青方

即　　　

運用這個圖形，甚至不需要標注任何文字，只要按圖所示塗以朱、青二色，就把這種證明思想表示得清清楚楚了。

這個證明的基本原理是利用平面圖形的面積，巧妙加以移、合、拼、補之後，甚至無須代數運算，而勾、股、弦之間的關係便可一目了然，劉徽把種方法概括成一基本原理，稱為「出入相補原理」。這個原理是說：一個平面圖形從一處移置到另一處，面積不變；又若把圖形分割成若干塊，那麼各部分面積的和等於原來圖形的面積。

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割圓術　　　

魏晉間人劉徽為了推導圓面積的計算公式並推求圓周率較精密之值，創造了「割圓術」，為圓周率的研究工作奠定理論基礎和提供了科學的算法。 所謂圓周率，是指圓的周長與直徑的比率。在劉徽之前，中國通常採用的是「古率」，即取圓周率為３，很不精確，它實際上是圓內接正六邊形周長與圓的直徑之比，而不是圓的周長與直徑之比。但是，劉徽卻從中得到啟發：如果把圓周分割成十二等分，作出圓內接正十二邊形，那麼它的面積和周長就相應地比圓內接正六邊形接近於圓的面積和周長，因而用圓內接正十二邊形周長與圓直徑之比作圓周率的近似值，就比「周三徑一」精確一些。如果進一細分，作出圓內接二十四邊形，那麼又可求出更精確一些的圓周率近似值。「割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓合體而無所失矣」。劉徽從圓內接正六邊形開始，不斷倍增圖形的邊數，邊數愈多，多邊形的面積便愈接近圓的面積，這就是劉徽所創的「割圓術」了。 劉徽從圓內接正六邊形一直割到圓內接正一百十二邊形，得出圓周率近似值為3．14，當劉徽把正多邊形的邊數倍增至3072時，又求得圓周率的分數值為 ，小數的近似值為3．1416，準確至四位小數。後世稱這個數為「徽率」。都是當時世界第一流水平的成就。二百多年後，祖沖之繼續推算，於得出了更精確的結果：
　　3.1415926 ＜ 圓周率 ＜ 3.1415927
(祖沖之是世界上第一位把圓周率值計算準確至七位小數的人)

此外，祖沖之還給出了圓周率的兩個分數值
準確度較低的 (稱為疏率)
準確度較高的 (稱為密率)

然而，究竟祖沖之用什麼方法把圓周率的值計算準確至七位小數，而他又怎樣找出作為圓周率的近似分數呢? 這些問題至今仍是數學史上的謎。據數學史家們分析，他很可能採用了劉徽的「割圓術」，如果言個分析不錯話，那麼，祖沖之就需要從圓內接正六邊形分割到圓內接正12288邊形和圓內接正24576邊形，依次求出各多邊形的周長和面積。這個計算量是相當巨大的，至少要對九位數字反覆進行130次以上各種運算，其中乘方和開方就有近50次，任何一點微小的失誤，都會導致推算失敗。可知祖沖之深厚紮實的數學功底，嚴謹求實的科學態度。祖沖之求得的這個圓周率值要在一千年以後才由阿拉伯數學家於1427年打破。

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會圓術　　　

是北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中的傑出創造，給出了弓形的弦、矢和弧長之間的近似關係。「會圓術」是從《九章算術》的「方田」章所載的「弧田術」的基礎發展而成的，所謂「會圓術」就是已知圓直徑和弓形的高（即矢），而求弓形底（即弦）和弓形弧的方法。用「弧田術」來計算所得的近似值，不很精密，但用「會圓術」來計算，雖然也只能得到近似值，但精確多了。

沈括出的求弧長的近似公式：

其中d 為弧所在的圓徑，c為弧田的弦，v 為弧田的矢。

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重差術　　　

《九章算術》中《勾股》章的最後幾個問題，乃是測量城池、山高和井深之的測量問題，這種測量方法稱為「重差術」。三國時代數學家劉徽為了解釋「重差術」，便撰寫《重差》一卷，附在《九章算術》中《勾股》章之後，到了唐初，這一部分才被人從《九章算術》中抽出來，成為一部獨立的著作。因為它的第一題是關於測量海島的高和遠的問題，故將《重差》更名為《海島算經》。

《海島算經》第一題

今有望海島，立兩表齊高三丈，前後相去千步，令後表與前表參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合，從後表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合，問島高及去表各幾何？

此題提出望見有一個海島，不知道它的高度和離岸距離，討論如何量度海島的高度和離岸距離。

劉徽給出的解法是：

立下兩個高度都是 h 尺的標桿，兩桿之間的距離是 d 尺，並且使這兩個標桿和海島的位置都處於一條直線上。從前面標桿後退 a尺，人目落地，觀測桿頂和山頂在一條直線上。再從後面的標桿後退 b 尺，人目落地，也可以觀測到桿頂和山頂在一條直線上。

問海島的高和海島離岸距離：

海島的高　　　

海島的遠 　　　

由於這種計算需要兩個差數，即 d 和 b - a，故古代稱為「重差術」。

解：a = 127步，b = 127步，h = 3丈＝30尺＝5步，d = 1000步

島高 　　　　(1里 = 300步)

島遠 　　

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盈不足術

盈不足術，在中國數學發展史上，有著很悠久歷史，是一個原始的解題方法，（現在高等數學中求方程式實根近似值的假借法就是由古代的盈不足術發展而來的），後來的數學家並不十分重視，但是它流傳到中亞細亞和歐洲之後，在歐洲代數學沒有發達之前，曾廣泛用這方法解決代數學上的問題好幾百年，所以盈不足術在世界數學史上有光榮的地位的。

《九章算術》解這類問題的術文相當於公式：

人數：

物價：

程大位解法的歌詞是：

算家欲知盈不足，
兩家互乘併為物，
併盈、不足 為人實數（被除數），
分率相減 餘為法（除數）， 法除物實為物價，
法除人實人數目。

例：　今有（人）共買物，人出八，盈三；人出七，不足四；問人數物各幾何？

　　　答曰：七人；　物價五十三

解：　　

　　　物價 = 　　　　　人數 =

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方程　　　

兩千年前，中國古代有一部數學名著叫《九章算術》，其中一章名叫「方程」，是講多元一次方程組的問題，對應於現今的線性方程組（System of linear equations)，十七世紀前後，歐洲代數首次傳入中國，當時譯 'equation' 為「相等式」。十九世紀中葉，近代西方數學再次傳入中國，1859年清數學家李善蘭與英國傳教士偉烈亞力合譯《代數初步》，其中，'equation'　的譯名就是借用了中國古代的「方程」一詞，這樣，「方程」一詞首次意為「含有未知數的等式」。1873年，清數學家華蘅芳與英國傳教士傳蘭雅合譯《代數學》，他們則把'equation'譯為「方程式」，他們的意思是，「方程」與「方程式」應該區別開來，「方程」仍指《九章算術》中的意思，而「方程式」是指「含有未知數的等式」。 直到1934年，中國數學學對數學名詞進行逐一審查，確定「方程」與「方程式」者意義相通，至此「方程」與「方程式」同義，自此一直沿用下來。

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賈憲三角

宋代數學家楊輝於公元1261年所著的《詳解九章算法》一書中，記載了一幅「開方作法本源圖」，人們把它稱為「楊輝三角」，是一個用數字排列成的三角陣。西方把這個三角形稱為「巴斯卡三角形」，但法國數學家巴斯卡造出它已經是十七世紀的事了。據楊輝說「開方作法本源圖」：「出《釋鎖算書》，賈憲用此術」，賈憲是十一世紀初北宋的一位數學家，比楊輝早兩個多世紀，因此應把這個三角形稱為「賈憲三角」。

「賈憲三角」實際上是將二項式 a + b 乘方後展開式的係數表： 見「開方作法本圖」下面的五句話：

「左袤乃積數，右袤乃偶算，中藏者皆廉，以廉乘商方，命實而除之。」

前三句說明了賈憲三角的結構，後二句明各係數在立成釋鎖方法中的作用。

（長方形土地東西的長叫做廣，南北的長叫做袤。南北引申為上下。）

「左袤乃積數」指左邊由上而下的那一行「一 一 一 一 一 一 一」是二項展開式中常數項係數；

「右袤乃偶算」指右邊由上而下的「一 一 一 一 一 一 一」是展開式中最高次項係數；

「中藏者皆廉」指中間那些數是對應各次項的係數；

「以廉乘商方，命實而除之」指開方或解方程時用所得的商去乘各次項係數，再從實中減去。

楊輝之後，朱世傑《四元玉鑒》也有同樣的圖，

名為「古法七乘方圖」

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增乘開方法　　　

即高次方程數值解法，這方法可以求得任意高次展開式的係數。高次方程數值解法是中國傳統數學中最重要內容之一，源遠流長，成就卓著，在漢代的《九章算術》中已有開平方、開立方的明確而規範的步驟，以及求解一元二次方程的記載，此後，南北朝祖沖之父子的《綴術》，唐代王孝通《緝古算經》中都研究了三次方程解法，北宋時期，劉益創立正負開方術，突破了以往方程係數僅為正數的限制；賈憲著有《黃帝九章算法細草》，其中一部分被楊輝採入《詳解九章算法》，保留了賈憲的傑出數學成就：增乘開方法；賈憲發展了增乘開方法，創立開方作法本源，解決了一般的開高次方問題。開方作法本源圖是一個由數字排列成三角形的數表，稱為賈憲三角形，給出了二項式展開式中的係數。

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大衍總數術　　　　

就是求解聯立一次同餘式組問題，這類問題，在中國古代數學中由來已久，至少可以上溯到漢代曆法中上元積年的推算。《孫子算經》「物不知數」的數學模型，表明這一方法在南北朝時期已相當成熟，十三世紀秦九韶給出了完整方法，將其推廣到最一般的情形，這方法稱為「大衍總數術」，通常把中國古代求一次同餘問題的解法稱為「大衍求一術」。在歐洲，經過歐拉（Euler，公元1707 - 1783）、拉格朗日（Lagrange，公元1736 - 1813）、高斯（Gauss，公元1777 - 1855）、三位數學家六十多年的努力才達到相同水準，但已在秦九韶之後五百五十多年了。中國古代數學這一傑出創造被方學者稱為「中國剩餘定理」，中國數學史界認為應叫做「孫子定理」。

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天元術　　　

天元是指問題中的未知數，「立天元某某」相當於現在的「設x為某某」的意思。這種建立只包含一固未知數的一元代數方程的一般方法，被稱為「天元術」。「天元術」的起源大概是十三世紀初年的前後，創作者名字和年代不可考，流傳下來的有元李治的《測圓海鏡》和宋朱世傑的《四元玉鑒》、《算學啟蒙》。

一元多次方程表示法 「元」字的左邊是一次項的係數，

上層依次為二次及三次項係數，下層為常數項， 右圖所示方程　　　

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四元術　　　

是中國古代處理多元高方次程組問題（可多至四個未知數）的一套代數方法。是將「天元術」只包含一個未知數的一元方程推廣至二元、三元以至四元的高次聯立方程組，因未知數可以有四個之多，後人把擴充後的天元術稱為「四元術」。「四元術」中的天、地、人、物四元，相當於現在的x、 y 、z 、w，而方程的各項，在籌式中都有各自相應的固定位置。

多元一次式表示法 不同未知數以不同「元」表示，

計有天元、地元、人元和物元等，再把「太」字放在各元中間，下為天元，上為物元，左為地元，右為人元。

右圖所示方程　　　2x + 6y + 3z + 7w = 0 　　　　　　　

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招差術　　　　

即內插法，是中國數學史上有世界意義的重要成就，漢代曆法中已經使用了一次內插法，隋唐時期創用了二次內插法，元數學家王恂用了三次內插法，並將其運用到曆法中的許多問題，朱世傑在此基礎上更進一步，把垛積與招差視為相對互逆的運算，利用三角垛系統的結果建立了四次內插公式，這比西方的同類成果早了三百多年。

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垛積術　　　　

即高階等差級數求和問題。設有一些形狀及大小均相同的離散物體堆積為一個規則臺體，應如何計算這些物體的個數?

在《九章算術》中己經繪出各種臺體，擬臺體的體積公式，但離散物體的垛積問題直到沈括正式提出，並得到完滿的解決，這一成就構成了中國垛積術研究的開端，以後續有人研究，南宋楊輝在《詳解九章算法》及《算法通變本末》中給出了三個垛積公式：

三角垛

四隅垛

方垛垛 (其中n為垛層數)

後來元代朱世傑較大的發展，在《四元玉鑒》中有系統而深入的研究垛積問題，取得了極為輝煌的成就，並使之在其後數百年中一直成為數學家們關注的課題。

朱世傑的許多級數求和問題中，可歸納出一串有著重要意義的公式：

這類求和公式統稱為三角垛公式。

到十九世紀李善蘭的《垛積比類》集中算史上垛積之大成，乃有進一步發揮。在此基礎上產生了李善蘭�痤它〝M「尖錐術」等一系列優秀成果。

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縱橫圖　　　　

即現代所謂幻方（Magic Square），一般是指由1到n的連續自然數組成的一個方陣，每行、每列及兩條對角線上的n個數之和均相同，至遲在戰國時代已經出現，被稱為洛書或九宮，但在後來的一千多年中並無進一步發展。
洛書顯然是一個三階幻方，其橫、縱、對角線各行三數之和都是十五。 據北周甄鷥注《數術記遺》：「九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央」，是世界上最古老的三階幻方。

楊輝在他的《續古摘奇算法》中創「縱橫圖」之名，收入幻方十三個，包括：洛書數（三階幻方）一，花十六圖（四階幻方）二，五五圖（五階幻方）二，六六圖（六階幻方）二，衍數圖（七階幻方）二，易數圖（八階幻方）二，九九圖（九階幻方）一，百子圖（十階幻方）一，另外還有聚五、聚六、聚五、攢九、八陣、連環諸圖，是一些呈圓形的數學陣，具有與幻方類似的性質。楊輝不僅記了許多幻方，而且對於奇數階3n階及雙數階幻方提示了具有一般性的造方法，成為中國數學史上第一位對幻方進行系統的數學探討的數學家。此外，明代王文素著的《算學寶鑒》中亦有記載多種縱橫圖，程大位著的《算法統宗》在卷17裡載有14種縱橫圖。清代方中通的《數度衍》在卷首之一的「九九圖說」後附有14種縱橫圖，它與楊輝著作中的基本上相同。歐洲的同類工作直到十六世紀才得以系統地展開。

衍數圖（七階幻方）（縱橫斜175）

九九圖（九階幻方）（縱橫斜369）

右圖是楊輝的九九圖，可以清楚地看出他以三階幻方為基礎構造 一般的3n階幻方的嘗試：

這一九階幻方明顯地劃分為九個階方陣，每個三階為陣的各數都由九的倍數加上圖中藍色方框中的數字構成，且結構完全一致，其和諧、對稱，富有規律，在數學上達到了十分優美的境界。體現了楊輝幻方研究的高度理論水準。

百子圖（十階幻方）（縱橫斜505）

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尖錐術　　　　

公元1845年李善蘭在其《方圓闡釋》一書中建立了一套相當於簡單形式的積分學 — 尖錐術理論，提出：
　　體積是由面積積迭而成，面積是由線段積迭而成。
　　體積可變為面積，面積可變為線段。

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勾股形

勾股形 為什麼在中國古代直角三角形會叫「勾股形」呢?

原來，中國古代在進行天文測量時，在地上�X��一根木竿，叫做「表」。
「表」在地面上投射出一道日影，於是表和日影構成了一個直角三角形的兩條直角邊。中國古代就把直角三角形稱為「勾股形」，「表」那條直角邊稱為「勾」，日影那條直角邊稱為「股」，勾股形的斜邊稱為「弦」。
測出勾股的長度，便可以粗略地推算出太陽的高度。

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